Teorema di Talete (con dimostrazione)

Uno dei più importanti teoremi della materia è senza alcun dubbio il Teorema di Talete.

Enunciato
Un fascio di rette parallele secante due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.

Teorema di Talete

Ipotesi

{t_1 \parallel t_2 \parallel t_3}

Tesi

{\displaystyle{\frac{AC}{BD}} = {\frac{CE}{DF}} = {\frac{AE}{BF}}}

Dimostrazione

Dato un triangolo ABC, tagliato da un segmento DE parallelo a BC.

Si congiungano D con C ed E con B, ottenendo due triangoli BDE e CDE.

Tali triangoli sono equivalenti, in quanto hanno la stessa base e stessa altezza (tale altezza sarebbe la distanza tra DE e BC).
Quindi possiamo tranquillamente scrivere:

{A_{BDE} : A_{ADE} = A_{CDE} : A_{ADE}}

Ma, avendo CDE e ADE la stessa altezza (col piede sul lato AC), si può dedurre che il rapporto tra le aree è uguale al rapporto delle basi:

{A_{BDE} : A_{ADE} = BD : DA}

Per la stessa ragione:

{A_{CDE} : A_{ADE} = CE : AE}

Unendo le ultime due proporzioni possiamo così ottenere che:

{\boxed {BD: AD = CE : AE}}

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Il primo a dimostrare il teorema di Talete in questo modo fu Euclide nel IV secolo a.C.

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1 commento »

  1. [...] volta definito il teorema di Talete, dimostrare il primo criterio di similitudine dei triangoli è estremamente semplice: basta infatti [...]

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