I criteri di similitudine (con dimostrazioni)

La similitudine è una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze.

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia ed una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la “forma” dell’oggetto, pur cambiandone la posizione, l’orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa “forma”.

In termini tecnici, due poligoni sono simili se hanno lo stesso numero di lati, gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti proporzionali.

La similitudine tra due oggetti si indica con il segno {\sim} (es. {A \sim B} ).

Nella geometria piana particolare rilevanza hanno i tre criteri di similitudine tra triangoli.

Primo criterio di similitudine

Enunciato

Se due triangoli hanno due angoli congruenti, allora sono simili.

Si noti che se due triangoli hanno due angoli congruenti, siccome la somma degli angoli interni è sempre di 180° (tale affermazione deriva direttamente dal V postulato di Euclide) hanno per forza anche il terzo angolo congruente.

Ipotesi

{ \alpha \cong \alpha ' ; \beta \cong \beta ' ; \gamma \cong \gamma ' ; }

Tesi

{\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'}

Dimostrazione

Una volta definito il teorema di Talete, dimostrare il primo criterio di similitudine dei triangoli è estremamente semplice: basta infatti sovrapporre i due triangoli in modo che abbiano un vertice in comune e i lati a coppie paralleli: per il teorema prima citato immediatamente arriveremo alla conclusione che

{AB:A'B'=BC:B'C'=CA:C'A'}

Avendo gli angoli uguali e i lati in proporzionalità diretta, si può dedurre che:

{\boxed{\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'}}

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Secondo criterio di similitudine

Enunciato

Se due triangoli hanno un angolo congruente e i lati che lo comprendono direttamente proporzionali, allora sono simili.

Ipotesi

{ \alpha \cong \alpha ' }

{\displaystyle{{AB}:{AC}={A'B'}:{A'C'}}}

Tesi

{\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'}

Dimostrazione

La dimostrazione è molto simile a quella del primo criterio di similitudine.

Infatti, conseguentemente al teorema di Talete, i due triangoli avranno:

{ \alpha \cong \alpha ' ; \beta \cong \beta ' ; \gamma \cong \gamma ' ; }

proprio perché hanno due lati direttamente proporzionali.

Da qui ci si riallaccia al primo criterio di similitudine e si completa:

{AB:A'B'=BC:B'C'=CA:C'A'}

Avendo gli angoli uguali e i lati in proporzionalità diretta, si può dedurre che:

{\boxed{\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'}}

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Terzo criterio di similitudine

Enunciato

Se un triangolo ha i tre lati direttamente proporzionali a quelli di un altro triangolo, allora i due triangoli sono simili.

Ipotesi

{\displaystyle{\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}}}

Tesi

{\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'}

Dimostrazione

Sempre come conseguenza del teorema di Talete, i due triangoli avranno:

{ \alpha \cong \alpha ' ; \beta \cong \beta ' ; \gamma \cong \gamma ' ; }

Ma visto che, se due poligoni hanno lo stesso numero di lati, gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti proporzionali, allora:

{\boxed{\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'}}

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